３の倍数の審判

暖かい空気の中に、花粉が子孫を残さんと暴れまわる季節となった。ところで、数字をパッと見て3の倍数であるかどうか、知りたいと思うことはあるだろうか。言ってしまえばほとんどないが、世界のナベアツが3桁、4桁と増えても正しく３の倍数でバカにならないといけないときや、素数かどうかを判断する際に、2で割れるかどうか確認し、割れない際に次に試してみるのが３であるだろうから、その際に強く3の倍数の判断を瞬時にしたくなることはあるだろう。

このときに、有用な定理がある。「ある数（ここでは自然数）の位の数を足した結果が3の倍数であれば、は3の倍数である。」

簡単のためにが3桁のときを証明してみよう、

ある数は、1～9までの数字を用いて

　

とかける。

定理の条件の部分、「ある数（ここでは自然数）の位の数を足した結果が3の倍数」は証明の際使ってよい武器なので、これを数式で書くと、A自然数として、

の形に変形すると、

このを（1）式に代入すると、

ここでとすると、

となる。よっては3の倍数である。二桁でも四桁でも同様に証明できる。

 

早速使って、具体的に見てみよう。2022は明らかに偶数であるが3の倍数だろうか。全桁を足すと

で3の倍数であるから、2022は定理によって3の倍数である。割り算してみるとである。

スカイツリーの634は3の倍数ではないなど瞬時にわかるようになる。実際足してみて3の倍数でないことを確認してみてほしい。ぜひ、友達、家族へ披露して、隠れた３を炙り出してやろう。